Warum die Topologie der vier Dimensionen so kompliziert ist

© Spektrum der Wissenschaft (Details)

Kompaktes Set | Im Allgemeinen können kompakte Mengen immer in eine Kugel eingeschlossen werden.

Aber nicht nur der vierdimensionale Raum selbst ist seltsam, sondern auch die vierdimensionalen Figuren. Stellen Sie sich vor, Sie leben in einer fünfdimensionalen Welt und möchten vierdimensionale Oberflächen anordnen: Welche sind zueinander diffeomorph? Welche Arten von Oberflächen gibt es? Um dies zu verstehen, ist es einfacher, mit unserer vertrauten dreidimensionalen Welt zu beginnen.

Dort können wir zweidimensionale Flächen untersuchen, etwa Kugelflächen oder einen Torus. Wie sich herausstellt, fallen alle zweidimensionalen (geschlossenen) Oberflächen in nur drei Kategorien, wie Henri Poincaré bereits 1907 bewies: selbst wenn sie (diffeomorph) sphärischen Oberflächen, zusammenhängenden Donuts oder zusammenhängenden Projektionsflächen entsprechen ( Teil der Klein-Flaschenzählung). Unabhängig davon, wie komplex eine 2D-Figur aussieht, kann sie immer in eine von drei Kategorien umgeformt werden – und zwar ordentlich.

Wenn Sie in der vierten Dimension leben und dreidimensionale Oberflächen betrachten, gibt es acht verschiedene Kategorien: Sie können jede dreidimensionale Oberfläche auf acht Grundformen reduzieren. Es wurde 1982 von William Thurston vermutet, aber die sogenannte Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten wurde erst 2003 von Grigori Perelman bewiesen, der auch die Trivialität der Poincaré-Vermutung bewies: Jede dreidimensionale Oberfläche ohne Loch kann verändert werden drei. -dimensionale sphärische Oberfläche. Das Ergebnis zeigt, dass es auch für dreidimensionale Oberflächen ein Klassifikationsverfahren gibt.

Auch Lesen :  Forschung und Aktivismus : Was Wissenschaft bewegen kann

Wendet man sich höheren Dimensionen zu und will Oberflächen in fünf, sechs oder höheren Dimensionen untersuchen, wird es schwieriger. Wie kann man so komplexe Dinge kategorisieren? Was Mathematiker dafür meist verwenden, ist die sogenannte Whitney-Methode: Man kann sich vorstellen, ein Band über eine Zahl zu werfen und anhand des Verhaltens beim Ziehen prüfen, ob die Oberfläche Löcher hat. Wie bereits erwähnt, lässt sich auf diese Weise eine Kugel von einem Torus unterscheiden. Während sich jede geschlossene Schleife einer Kugel an einem Punkt zusammenziehen kann, kann ein Torus dies nicht. Es eignet sich auch gut für Oberflächen mit mehr als vier Dimensionen. Wenn Sie ein Band festziehen, entsteht eine kreisförmige Fläche, eine Scheibe. Um zu wissen, welche Art von Oberfläche Sie betrachten, müssen Sie alle möglichen Arten von resultierenden Discs separat überprüfen. Allerdings können sich die Ribbon-Bereiche überlappen – was aus mathematischer Sicht problematisch ist. mit n > 4 kann man zusätzliche Maße verwenden, um die beiden Scheiben voneinander zu trennen. Es ist ähnlich dem Vorgang, wenn Sie zwei Geraden in einer Ebene trennen wollen: Ausweichen nach links/rechts oder oben/unten bringt nichts. Die einzige Möglichkeit, gerade Linien in der Tiefe zu trennen, besteht darin, eine dritte räumliche Dimension hinzuzufügen. Dasselbe funktioniert in fünf Dimensionen mit zwei zweidimensionalen Scheiben. Auf diese Weise kann die Lasso-Methode verwendet werden, um zu bestimmen, welche Oberflächen der Dimension fünf oder mehr zueinander diffeomorph sind.

© Spektrum der Wissenschaft (Details)

Zwei gerade Linien | Wenn Sie zwei sich schneidende Linien trennen möchten, benötigen Sie eine dritte räumliche Dimension.

So finden Sie alle Kategorien von zwei-, drei-, fünf- und mehrdimensionalen Oberflächen. Und Sie haben es vielleicht schon erraten: Die vierte Dimension macht mal wieder Schwierigkeiten. Denn wie sich herausstellt, ist es unmöglich, diffeomorphe vierdimensionale Objekte zu klassifizieren – diese Welt ist ein komplettes Chaos!

Auch Lesen :  Darum ist der Speicher einer Festplatte kleiner als angegeben

Die vierdimensionale Welt verbirgt auch ein Geheimnis – laut Topologe Ciprian Manolescu das wichtigste Problem der Topologie: Jede vierdimensionale Fläche ohne Loch lässt sich diffeomorph zu einer vierdimensionalen Kugelfläche verformen? Das ist die nette Poincaré-Vermutung. Für alle Dimensionen wird die übliche Poincaré-Näherung verwendet n bewiesen, aber im allgemeinen topologischen Sinne: Auch Verformungen durch Ecken und Kanten sind erlaubt. Topologen interessieren sich also dafür, wie das funktioniert n-Dimensionale Poincaré-Hypothese versagt, wenn nur diffeomorphe Deformationen erlaubt sind. Inzwischen haben sie die Antwort auf jede Raumdimension gefunden – außer n = 4. Dies gilt beispielsweise nicht für sieben Dimensionen, wo es 28 verschiedene Versionen einer Kugeloberfläche gibt, sogenannte exotische Kugeln: dh 28 verschiedene Figuren ohne Loch, die sich nur mit Hilfe von Ecken und zueinander verändern können Kanten. Für alle anderen Dimensionen lässt sich auch die Anzahl exotischer Sphären berechnen, die teilweise sehr groß ist. Bisher wurde in vier Dimensionen nichts gefunden, was nicht hohl und nicht diffeomorph zur Kugel ist – aber es ist auch nicht möglich zu beweisen, dass nichts existiert.

Auch Lesen :  Fast-Fourier-Transformation: Ein Algorithmus für den Weltfrieden

Source

Leave a Reply

Your email address will not be published.

In Verbindung stehende Artikel

Back to top button